Irracionalidade de pi

Neste post pretendo dar uma demonstração da irracionalidade de π, usando conceitos da matemática elementar.Vamos a demonstração.Se π é racional, então, pode ser escrito como o quociente de dois inteiros p e q, da seguinte forma:

                                                   $π=\frac{p}{q}$

Por simplicidade, tome o produto infinito do seno:
                                          $sen(\theta)=\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{\theta^2}{k^2π^2} \right)$

Seja n um inteiro, substituindo $\theta$ por $(2n+1)\theta$ na relação acima, teremos:
                           
                              $sen((2n+1)\theta)=\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{((2n+1)\theta)^2}{k^2π^2} \right)$

Fazendo $\theta=p$ vem

                       $sen((2n+1)p)=\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{((2n+1)p)^2}{k^2π^2} \right)$

Como  $π=\frac{p}{q}$, substituindo na expressão acima teremos:

$sen((2n+1)p)=\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{((2n+1)p)^2}{k^2\frac{(p^2}{q^2}} \right)$